卷三・志第・历

造历者各有本原,史宜备录,使后世有考如《太初》起数钟律,《大衍》造端蓍策,皆详本志《授时历》测算术宗,惟求合天,不牵合律吕、卦爻然其法所立,数所从出,及晷影、星,皆有全书郭守敬、齐履谦传中,有书名可考《元史》漫无采摭,仅存李谦《议禄》、《历经》初稿其后改三应率及立成数,与夫割圆矢法,平立定三差原,尽削不载使作者精意湮没,识者憾焉今据《大统因通轨》及《历草》诸书,稍编次,首法原,次立成,次推步而法原目:曰句股测望,曰矢割圆,曰内外,曰白交周,曰日月星平立定三差,曰里差刻漏

北京立丈表,冬至日午正,测得景辰丈九尺寸随简仪测到太阳南至地平,背求得矢,九置周天径,截矢余九股,乃本地支戴日下股别句术,求得句下秒,日出地

北京立丈表,夏至日午正,测得景长丈尺寸随简仪测到太阳南至地平,背求得矢,三少置周天径,截矢余三秒句,乃本地去戴日下句别股术,求得股,日出地

至日相并,得百三,折得三,北京出地出地转减周天,余九九三秒微,北京北极出地

周天经百少少不用径又大至内外背所测就整至矢秒大句三秒大股秒径内减去矢数

割圆求矢术　置自,背幕,周天径自,上廉上廉乘背幕,正实上廉乘径,益从方背倍,乘径,下廉初商乘上廉,得数减益从方,余从方置初商自下廉,余初商乘,从廉从方、从廉相并,下法下法乘初商,减正实,实不足减,改初商实有不尽,次第商除倍初商数,与次商相并乘上廉,得数减益从方,余从方并初商次商而自,又初商自,并数减下廉,余初商倍数并次商乘,从廉从方、从廉相并,下法下法乘次商,减余实,而定次商有不尽者,如法商,皆商得数矢数同用

如背求矢术曰:置背自,得,幕置周天径百太自,得万千百三秒,上廉上廉乘背幕,得万千百三,正实上廉又乘径,得百万千百九三秒,益从方背倍,得,乘径得百三,下廉初商秒置初商秒乘上廉万千百三,得百,减益从方百万千百九三,余百万千百九,从方又置初商秒自,得微,减下廉余百三九九三仍秒乘,得九九九九,从廉从廉、从方并,共得百万千百九,下法下法乘初商,得万千百三九九九九,减正实,余实三百三三九次商秒置初商秒倍,得秒加次商委秒,乘上廉万千百三,得百三三,减益从方,余百万千百,从方又置初次商秒自,得微加初商秒自数,得秒三微,减下廉,余百三九九九前所得秒乘,得三九九,从廉从廉、从方并,得百万千百三,下法下法乘次商,得三百九三三九,减余实,仍余三三九不足秒叶不用,下同

凡求得矢秒,余各如上法,求到矢,相求及其内外根数详后

求各下积术　置周天径内减去矢,余小置小,大股乘大股见割圆实大径法实如法而,小股直矢自乘实,周天全径法,实如法而,背差差去减积,即背余置自股幕,小股自句幕,幕并,开平方法除,小置,周天径亦大乘实,小法而,置小股,亦横小句大即径乘实,小法而,横大句,减径,余磺矢横矢自实,全径法而,背差差加,积

如背,求积术曰:「置径秒,即大内减矢秒余,小置小,大股乘,得三千百三实,大法,实如法而,得九秒,小股又小句置矢秒自,得微,全径百法,除得纤,平背差置,内减背差,余,因因差在微下不减,即用置自,得股幕小股矣自,得三千百三句幕幕并得三千百三九实,平方开,得,小置,径即大乘,得实,小股法除,得秒,置小股九,又小句大径乘,得三千百实,小法除,得三秒,横大句置径秒,内减大句三秒,余九秒,横矢置横矢九秒自,得九微九,全径法除,得纤,背差置秒,加背差,积,今差在微已下不加,即用积

凡求得积秒余各如上法,求到各下积,两数相减,即得差,乃至后率其后,求,反此求,其数并同

按郭敬创法端,内曰差,此其根率也旧法百相减乘《授时》立术,句股、矢、方圆、斜直所容,求其数差,合於浑象理,视古密顾《至元历经》所载略,又误矢积差,矢差率,今正

凡浑圆中剖,则成平圆任割平圆,成矢形,皆有背,有,有矢剖矢形而,则有背,有,有矢因矢句股形,句,矢减径余股,径句股内成小句股,则有小句、小股、小、而大小可互求,平侧可互用,浑圆理,斯密近

平者,斜者因至距,生大句股因各距,生小句股

外大圆从北极平视,则在内,有各,即各有其,生大名股又各有其相当,生小句股此者皆可互求

按旧史无图,然表亦图属也今句股割矢法,实历家测算本非图不明,因存其要者数端

推各,距内外及去极远近术置径内减去小,余差又小矢,又内外矢,又股差置径内外减去矢,余小,至内外乘实,大法,即径除小即内外,又小句置小矢自,即差全径除,背差差加小小背,即内外置内外,视在盈初缩末限加,在缩初盈天限减,皆加减象限,即各得太阳去北极

如冬至后,求太阳去内外及去极术曰:「置径,内减下小三九秒,余秒,小矢即内外矢置径,内减,矢秒,余三秒,小置小,至内外三乘,得千三实,大法除,得九秒小即内外置小矢秒自实,全径地百除,得秒背差,差加小九秒,得三九秒,至前后,太阳去内外置象限九三三秒,内外三九加,得百三秒,冬至后太阳去北极

推白正交,距正交北极数术曰:「置实测白出入内外径,又大图矢,又股差置径自,得三千百,矢而,得百三股和,加矢,共百三三大圆径依法求得容阔,又小句又至出入三大句大句法,除大股秒,得三就整差差乘小句,得小股三秒,容长置径大,乘小句实,大句三法除,得三小,又白正交,距正交　依法求行背,白正交距正交极娄数